sábado, 13 de noviembre de 2010

La proyección gnomónica sirve para representar los elementos que pasan por un centro de proyección O del que conocemos su proyección ortogonal O’ sobre un plano y su distancia al mismo.
La proyección ortogonal determina en su intersección con el plano PC el centro de una esfera de centro O’ cuyo polo superior es O. La intersección de la esfera y el plano de proyección PC (en gris) es un círculo verde c de radio OO’.
Un plano cualquiera alfa pasa por O y corta al de proyección en su traza (traza de alfa). Una recta cualquiera a pasa por O y corta al plano de proyección PC en su traza Ta. Cualquier punto P queda definido en el sistema por pertenecer a un plano alfa o una recta a.

















Para saber el ángulo que forma el plano alfa y el de proyección (en amarillo) se abate el plano violeta alfa y el perfil de ese giro lo colocamos en el plano amarillo, así obtenemos (O) visto “desde arriba”.
Para abatirlo hacemos una perpendicular m a la traza del plano alfa desde O'. En la intersección P hacemos centro y con radio PO hacemos un arco que corta al plano del cuadro en (O). (O) es el centro O abatido. Ese giro espacial que transforma O en (O) lo hacemos sobre el plano del cuadro, así, O'-O-P se transforma en O'-O''-P sobre el plano del cuadro, obteniendo mediante el giro (O).
















Aquí tenemos la proyección gnomónica del ejercicio anterior, con el abatimiento del plano hecho sobre el círculo verde. El ángulo beta es el que forma el plano alfa y el plano del cuadro.

















Para calcular el ángulo de dos planos m n, se hace un plano perpendicular alfa a ambos. Si lo es a ambos lo es a su recta de intersección a. Las dos rectas de intersección de alfa con m n, determinan el ángulo de los dos planos: el ángulo que forman las rectas es el mismo ángulo que forman los planos.
Al abatir las dos rectas observamos el ángulo beta de estas en verdadera magnitud (o de los dos planos).












en el dibujo observamos la proyección gnomónica de los dos planos m n que se cortan en la recta a. A los dos planos se le hace un plano perpendicular que lo es también a la recta de intersección a.
Para construir un plano perpendicular a la recta a la abatimos y por el centro de proyección O’’hacernos una recta perpendicular a la recta abatida a. Esta recta perpendicular pasa por la intersección de las trazas del plano alfa y de la prolongación de la recta a. El ángulo entre ambos planos que hemos llamado beta es el que forman las rectas que pasan por los puntos de intersección de los planos dados con la traza de alfa y con el centro de proyección O. Éste ángulo que hemos llamado beta se abate obteniendo sobre el plano del cuadro la verdadera magnitud del mismo.
















en el dibujo observamos una recta a perpendicular a un plano alfa. La condición para que la recta sea perpendicular al plano es que la proyección de la misma sea perpendicular a la traza del plano y que en el abatimiento del plano que pasa por la recta y por el centro de proyección (esto es el plano vertical beta) obtengamos la recta abatida perpendicular a la recta de intersección del plano beta con alfa.

















aquí podemos observar en proyección gnomónica la recta a perpendicular al plano alfa y el abatimiento del plano vertical Beta que contiene a la recta a. En la figura podemos observar también el abatimiento del centro de proyección (O).
















como podemos observar en este dibujo, para que una recta sea perpendicular a un plano se debe corresponder con este en la antipolaridad respecto al círculo de distancia. Esto quiere decir que si desde la traza de la recta hacemos las tangentes al círculo de distancia, en los puntos de contacto de las tangentes con la circunferencia verde o círculo de distancia podemos trazar una recta perpendicular a la línea Tb-O’ que es la polar de Tb. A la simétrica de la polar respecto al punto O’ se le llama antipolar, y como observamos en el dibujo ésta recta es por donde pasa la traza del plano alfa perpendicular a la recta dada b.
















aquí observamos el dibujo anterior desde otra perspectiva casi ortogonal. Como podemos observar el plano alfa es perpendicular a la recta b y efectivamente la traza del plano es la recta antipolar (simétrica de la recta polar) de la traza de la recta b.
















el ejercicio resuelto en proyección gnomónica muestra el plano alfa perpendicular a la recta b. Al hacer el abatimiento del plano vertical que pasa por el centro de proyección podemos observar que efectivamente la recta abatida b es perpendicular al plano alfa porque lo es a la recta de intersección del plano alfa con el plano vertical que pasa por el centro de proyección O, esto es la recta XO’’ es perpendicular a la recta Tb-O’’.

2 comentarios:

  1. Hola, gracias por esta explicación. He programado el diseñador de máscaras de MOS (espectroscopía multi objeto) del instrumento Osiris en el GTC (Gran Telescopio de Canarias). En algunos ejemplos detectamos errores que resultaron ser de concepto (soy informático, no geógrafo ni astrónomo) sobre cómo había entendido la proyección gnomónica. Textos bien redactados, cercanos, bien ilustrados como el suyo me han ayudado a diagnosticar y corregir el problema. Quería darle las gracias por haberse tomado su tiempo en hacérnoslo llegar. Un saludo.

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  2. Te agradezco tus palabras y celebro que te fuera útil. Saludos

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